单纯形网格 (Simplex Mesh)

重心坐标

重心坐标是一个非常重要的概念， 它是定义单纯形网格的基础, 也是构造单纯形网格 上有限元基函数的 基础, 下面介绍重心坐标的相关知识。

设 $\{\mathbf x_i = (x_{i,0}, x_{i, 1}, \cdots, x_{i, d-1})^T\}_{i=0}^{d}$ 是 $\mathbb R^d$ 空间中的 $d+1$ 个点，如果它们不在一个超平面上， 即 $d$ 维向量集合 $\{\mathbf x_0\mathbf x_i\}_{i=1}^d$ 是线性独立的，也等价于下面的矩阵非奇异 $$\begin{equation} \mathbf A =\begin{pmatrix} x_{0, 0} & x_{1, 0} & \cdots & x_{d, 0} \\ x_{0, 1} & x_{1, 1} & \cdots & x_{d, 1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{0, d-1} & x_{1, d-1} & \cdots & x_{d, d-1}\\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$

给定任意点 $\mathbf x=(x_0, x_1, \cdots, x_{d-1})^T\in \mathbb R^d$, 可以得到 一组实数 值 $\mathbf \lambda := (\lambda_0(\mathbf x), \lambda_1(\mathbf x), \cdots, \lambda_d(\mathbf x))^T$, 满足如下的方程 $$\mathbf A \mathbf \lambda= \begin{pmatrix} \mathbf x \\ 1 \end{pmatrix}$$ 即 $$\mathbf x = \sum\limits_{i=0}^{d}\lambda_i(\mathbf x) \mathbf x_i, \text{ with} \sum\limits_{i=0}^{d}\lambda_i(\mathbf x) = 1.$$

点集 $\{\mathbf x_i\}_{i=0}^d$ 的凸壳 $$\tau = \{\mathbf x = \sum_{i=0}^{d}\lambda_i\mathbf x_i | 0\leq \lambda_i \leq 1, \sum_{i=0}^d\lambda_i = 1\}$$ 就称为由点集 $\{\mathbf x_i\}_{i=0}^d$ 生成的几何 $d$-单纯形。 例如， 区间是 1-单纯形，三角形是一个 2-单纯形， 四面体是一个 3-单纯形。

而 $\lambda_0(\mathbf x)$, $\lambda_1(\mathbf x)$, $\cdots$, $\lambda_{d}(\mathbf x)$ 就称为 $\mathbf x$关于点集${\mathbf xi}{i=0}^d$重心坐标 。 易知$\lambda0(\mathbf x)$,$\lambda_1(\mathbf x)$,$\cdots$,$\lambda{d}(\mathbf x)$是 关于$\mathbf x$的线性函数并且，$ \lambda_i(\mathbf x_j) = \begin{cases} 1, & i = j\ 0, & i\not= j \end{cases}, i, j = 0, \cdots, d

$$

FEALPy 中的单纯形网格

一维区间网格 IntervalMesh

二维三角形网格 TriangleMesh

三维四面体网格 TetrahedronMesh

单纯形网格对象中的程序命名约定

单纯形网格对象的接口