1.2 数值代数研究的基本问题

1. 线性方程组: $Ax = b$ .这里 $A$ 是一个已知的 $n\times n$ 阶非奇异实或复的 矩阵, $b$ 是一个已知的 $n$ 维列向量， $x$ 是待求的 $n$ 维列向量.
2. 最小二乘问题: 计算极小化 $\lVert Ax-b\rVert_2$ 的 $x$ ，这里 $A$ s是 $m\times n$ 阶 的， $b$ 是 $m\times 1$ 阶的， $x$ 是 $n\times 1$ 阶的，而 $\lVert y \rVert_2 \equiv \sqrt{\sum_{i}\mid y_i\mid^2}$ 称为向量 $y$ 的 2-范数.若 $m > n$ ,即方程数大于未 知量的个数，这个方程称为超定的. 此时，一般不能精确地求解 $Ax = b$. 若 $m < n$, 这 个方程是亚定的，其将有无穷多个解.
3. 特征值问题: 给定 $n\times n$ 阶矩阵 $A$，求 $n\times 1$ 阶非零向量 $x$ 和标量 $\lambda$ 使得 $Ax = \lambda x$.
4. 奇异值问题:给定 $m\times n$ 的矩阵 $A$ ，求 $n\times 1$ 阶非零向量 $x$ 和标量 $\lambda$ 使得 $A^TAx = \lambda x$.

说明：

• 以上四类问题是科学计算中经常出现的问题。
  • 有限元、有限差分与有限体积等偏微分数值方法最后都是转化为线性方程组求解问题。
• 以上问题还存在很多变体。
  • 如求弹性体的模态问题 $Ax = \lambda Mx$。
• 问题的结构对于设计高效的算法很重要。
  • 效率包含内存和执行两个方面。
  • 满矩阵和稀疏矩阵