4.2 标准型(Canonical Forms)

例 4.1 机械振动的特征值与特征向量问题。

• 质量矩阵(mass matrix)
• 刚度矩阵(stiffness matrix)

• 阻尼矩阵(damping matrix)

• 质量弹簧系统的三种状态

  • overdamped
  • underdamped
  • critically damped: 矩阵不可对角化, 对应上面两种物理状态的边界。

数值计算若尔当标准型是不稳定的，有以下两个原因：

1. 若尔当标准型是矩阵 $A$ 的不连续函数。
2. 若尔当标准型不能稳定的计算，即得到 $S$ 和 $J$ 之后，对于很小的 $\delta A$, 不能保证 $$S^{-1}(A + \delta A) S = J.$$

定理 4.2. Schur 标准型(Schur canonical form)。 给定矩阵 $A$, 一定存在一个酉 矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $T$， 满足 $$Q^* AQ=T$$

• Schur 标准型可以说是酉相似变化下的最简形式;
• 定理中的 U 和 R 不是唯一的, 其中 R 的对角线元素可以按任意顺序排列。
• 对于一般实矩阵，Shur 分解会引入复数。

定理 4.3. 实 Schur 标准型。