流动前沿不稳定模拟

模型

几何区域

最初，通道部分地填充有矩形聚合物块，其被活塞移动到通道的空部分中

为了避免建模运动流域的问题，将活塞速度从速度场中减去

给不同区域相应的符号，注意，由于活塞和墙壁之间的速度跳跃，在活塞的拐角处的流场中引入了两个奇点。

$\Omega_m$ ：融熔物区域，建模为恒温不可压缩粘弹性液体，且由于粘性力占主导，惯性和引力忽略，
$\Omega_g$ ：气体区域，建模为可压缩低粘性流体
$\Gamma_p$ ：活塞边界
$\Gamma_{wp}$ ：融熔物区域的移动壁
$\Gamma_{wg}$ ：气体区域的移动壁
$\Gamma_{gin}$ ：气体区域流入边界
$\Gamma_f$ ：流动前沿

控制方程

\[\begin{aligned} - \nabla \cdot \boldsymbol \sigma &= 0 \quad \text{in} \quad \Omega \\ \nabla \cdot \boldsymbol u &= 0 \quad \text{in} \quad \Omega_m \end{aligned}\]

其中 $\boldsymbol u$ 为速度向量，$\Omega = \Omega_m \cup \Omega_g$， $\boldsymbol \sigma$ 为柯西应力张量，其气体域和融熔域表示分别为

\[\begin{aligned} \boldsymbol \sigma = -p \boldsymbol I + \boldsymbol \tau \quad \text{in} \quad \tau_m \\ \begin{cases} \boldsymbol \sigma = -p \boldsymbol I + 2 \eta_g \boldsymbol D \\ \eta_g \nabla \cdot \boldsymbol u + p =0 \\ \end{cases} \quad \text{in} \quad \tau_g \end{aligned}\]

其中 $p$ 是压力， $\boldsymbol D$ 是形变率张量， $\boldsymbol \tau$ 是粘弹性外应力张量，其选用XPP模型来刻画

\[\begin{aligned} \boldsymbol \tau = G(\boldsymbol c - \boldsymbol I)\\ \frac{\partial \boldsymbol c}{\partial t} + \boldsymbol u \cdot \nabla \boldsymbol c - (\nabla \boldsymbol u)^T \cdot \boldsymbol c - \boldsymbol c \cdot \nabla \boldsymbol u + \boldsymbol f_{rel}(\boldsymbol c) = 0 \\ \boldsymbol f_{rel} = 2\frac{\exp(v(\sqrt{tr \boldsymbol c /3}-1))}{\lambda_s}(1-\frac{3}{tr \boldsymbol c})\boldsymbol c \\ + \frac{1}{\lambda_b}(\alpha \boldsymbol c \cdot \boldsymbol c + \frac{3}{tr \boldsymbol c} [1-\alpha -\frac{\alpha}{3}tr(\boldsymbol c \cdot \boldsymbol c)]\boldsymbol c+(\alpha-1)\boldsymbol I) \end{aligned}\]

参数说明：

$\boldsymbol c$ : 构形张量
$G$ ：弹性模量
$ \boldsymbol f_{rel} : $是一个非线性松弛张量
$q$ :悬臂的数量
$v=\frac{2}{q}$
$\lambda_s$ :方向松弛时间
$\lambda_b$ :主干松弛时间
$\alpha$ :各项异性的滑移参数，设置为0
$r = \frac{\lambda_b}{\lambda_s}$ :用来衡量管段或者纠缠物的数量

简化： $\begin{aligned} \boldsymbol \tau = G(\boldsymbol c - \boldsymbol I)\\ \frac{\partial \boldsymbol c}{\partial t} + \boldsymbol u \cdot \nabla \boldsymbol c - (\nabla \boldsymbol u)^T \cdot \boldsymbol c - \boldsymbol c \cdot \nabla \boldsymbol u + \boldsymbol f_{rel}(\boldsymbol c) = 0 \\ \boldsymbol f_{rel} = 2\frac{\exp(v(\sqrt{tr \boldsymbol c /3}-1))}{\lambda_s}(1-\frac{3}{tr \boldsymbol c})\boldsymbol c \\ + \frac{1}{\lambda_b}(\alpha \boldsymbol c \cdot \boldsymbol c + \frac{3}{tr \boldsymbol c} [1-\alpha -\frac{\alpha}{3}tr(\boldsymbol c \cdot \boldsymbol c)]\boldsymbol c+(\alpha-1)\boldsymbol I) \end{aligned}$

尺度

两个无量纲数字控制这个问题

第一个是气体和融熔物的粘度系数比值 $R = \frac{\lambda_b G}{\eta_g}$ 第二是Weissenberg数 $Wi = \frac{\lambda_b U}{2H}$ $U$ 是墙壁移动速度，H是管道高度

所有的结果都是用无量纲的格式来展示，即速度都和 $U$ 成比例，长度都和 $H$ 成比例，时间都和 $\frac{H}{U}$ 成比例。

流动前沿刻画

用水平集方法来刻画融熔物和气体之间的交界面 $\frac{\partial \phi}{\partial t} + \boldsymbol u \cdot \nabla \phi = 0$ 其中 $\phi$ 是水平集函数，其表示带符号到交界面的距离

$\phi=0$ 代表交界面
$\phi > 0$ 代表融熔物区域
$\phi<0$ 代表气体区域

接触点

三相接触点即流动前沿与墙壁的交界面。

由于接触点的流动行为不能用本文所用的宏观物理来描述，因此整个流动前沿(包括接触点)被认为是一个半圆(作为一个未知量) $x(y)-x_c = \sqrt{(\frac{H}{2})^2-(y-\frac{H}{2})^2} \approx \sqrt{H} \sqrt{y} \quad \text{for} \frac{y}{H} <<1$ 其中 $x_c$ 是接触点的位置。

由于ｙ接近０时候，会出现non-attaching flow(接触点离开墙壁，会有气体层在融熔物和墙壁之间)。因此需要把墙壁也用水平集，令其 $\phi=0$ ，由于双线性形函数，需要设置水平集函数两个值为０，另一个就是垂直于墙壁